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Figuras Planas - Las Líneas - Los Polígonos - Los Cuerpos Geométricos
Las Figuras Planas
El estudio de las figuras planas y sus propiedades geométricas, abarca a los polígonos en general — tanto regulares como irregulares — como así también al círculo, que puede ser considerado un caso especial de polígono.Dicho estudio comprende:
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Las relaciones referentes a las líneas, puntos y ángulos de los polígonos regulares;
Los métodos para el dibujo de los polígonos regulares;
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Los métodos para el cálculo de la superficie de los polígonos regulares e irregulares.
Líneas y Puntos en los Polígonos
En los polígonos regulares, se consideran las propiedades geométricas de las siguientes líneas y puntos:
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El perímetro — que está formado por la continuidad, o la suma, de todos sus lados.
La diagonal — que es la línea que une dos ángulos no consecutivos.
El centro — que es el punto que se encuentra a una misma distancia de todos sus vértices.
El radio — que es la línea que une el centro con uno de sus vértices; por lo cual un polígono regular tiene tantos radios como ángulos.
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El apotema — que es la línea perpendicular que une el centro con cualquiera de sus lados; por lo cual un polígono regular tiene tantos apotemas como lados.
Líneas y Puntos en el Círculo
En el círculo se consideran las propiedades geométricas de las siguientes líneas y puntos:
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La circunferencia — que lo delimita, y que es el equivalente al perímetro.
El centro — es el punto del cual equidistan todos los puntos de la circunferencia.
El radio — es la medida de distancia entre el centro y la circunferencia, es el equivalente al radio de los polígonos regulares, y también al apotema.
El diámetro — que es la línea que pasando por el centro une dos puntos opuestos de la circunferencia, y por lo tanto mide el doble del radio, es el equivalente a la diagonal.
La secante — que es la línea que incluye dos puntos de la circunferencia, sin pasar por el centro. El tramo entre esos puntos, es la cuerda.
La tangente — que es la una línea recta que toca solamente un punto de la circunferencia.
El arco — que es el tramo de la circunferencia comprendido entre dos puntos distintos de la misma.
La flecha — que es la una línea perpendicular al punto medio de la secante, que lo une con la circunferencia.
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El sector — que es la superficie comprendida entre dos radios y el arco que delimitan.
Los Ángulos en los Polígonos
En los polígonos regulares se distinguen dos tipos de ángulos:
Loa ángulos interiores -- que son los que se forman en el vértice entre los lados.
Los ángulos centrales — que son los que se forman con vértice en el centro del polígono, y cuyos lados son los radios que unen ese centro a dos vértices consecutivos. Por lo tanto, un polígono regular tiene tantos ángulos centrales, todos iguales, como lados.
Polígonos Inscritos y Circunscritos
Se dice que un polígono está inscripto en un círculo, cuando todos los vértices coinciden con puntos de su circunsferencia.
Se dice que un polígono está circunscripto en un círculo, cuando los puntos medios de todos sus lados coinciden con puntos de su circunsferencia.
Construcción de polígonos mediante el compás.
Mediante la aplicación de los conceptos referentes a los ángulos de los polígonos, es posible servirse del instrumento de dibujo que es el compás, para construir graficamente diversos polígonos.El compás es un instrumento básicamente aplicable en el trazado de circunferencias, que delimitan una figura plana que es el círculo; el cual puede ser considerado un tipo especial de polígono regular, en el cual todos sus lados están constituídos solamente por un punto, y cuya dimensión está determinada por la longitud del radio, que es equivalente a la abertura del compás.
Para trazar un triángulo equilátero inscripto en un círculo, manteniendo el radio (abertura del compás) empleado para trazar el círculo, se determina un punto de la circunferencia (preferiblemente en la vertical inferior de su centro), y centrando en ese punto se traza un arco con extremos en la circunsferencia.
Los puntos de intersección (A y B) determinan un lado del triángulo equilátero; por lo cual tomando la medida de ese segmento con el compás y trasladándola sobre la parte superior de la circunferencia, se determinará el vértice (C) de unión de los otros dos lados.
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Para trazar un cuadrado inscripto en un círculo, se traza una recta que pasando por el centro llegue a la circunsferencia en sus extremos (diámetro AB).
Con una abertura del compás mayor a la empleada para trazar el círculo, centrando en los puntos extremos del diámetro, se marcan puntos en la circunferencia; lo que determinará dos nuevos puntos (C y D).
Uniéndolos mediante una recta, resultará un nuevo diámetro perpendicular al anterior; cuyos puntos de contacto con la circunferencia serán los vértices del cuadrado inscripto.
Como el cuadrado inscripto queda en posición transversal, puede trazarse otro con los lados en posición horizontal y vertical, simplemente trazando las medianas del cuadrado anterior, para determinar los vértices A', B', C' y D', de un nuevo cuadrado inscripto en el mismo círculo.
Cálculo de la Superficie de las Figuras Planas
La medida de la superficie de las figuras planas, se designa corrientemente en geometría con el nombre de área. Ella se expresa en unidades de medida de superficie, que se basan en la figura del cuadrado; por lo cual se llaman metros, decímetros o centímetros cuadrados.
El punto de partida para la determinación del método aritmético de cálculo de la medida de la superficie comprendida en las figuras geométricas planas, es el estudio del cuadrado.
Subdividiendo un cuadrado en varios cuadrados cuyo lado sea una parte del cuadrado original, resulta fácil apreciar que la cantidad de cuadrados menores — que pueden considerarse como unidad de medida — es igual a la multiplicación del número de cuadrados contenidos en dos de los lados del cuadrado originario: 5 × 5 = 25.
Conviniendo en denominar base al lado horizontal del cuadrado original, y altura el vertical; el procedimiento de cálculo de la superficie del cuadro puede expresarse en la fórmula:
SUPERFICIE DEL CUADRADO = BASE × ALTURA
En el caso del rectángulo, el mismo procedimiento permite establecer que el procedimiento de cálculo de su superficie es igual al del cuadrado: 5 × 8 = 40.
SUPERFICIE DEL RECTÁNGULO = BASE × ALTURA
La fórmula de cálculo del área del triángulo, es una derivación de las anteriores, atendiendo a que la diagonal de rectángulos lo divide en dos triángulos; por lo cual la superficie de todo triángulo es igual a la mitad de la del polígono que resultaría de duplicarlo tomando uno de sus lados como eje de simetría: 5 × 8 = 40 ÷ 2 = 20.
Si se observa un trapecio, se percibe que cada una de sus diagonales lo convierte en la suma de dos triángulos.
Por lo tanto, la superficie de un trapecio es la suma de las superficies de uno de los dos pares de triángulos que se forman al trazar una diagonal.
Propiedad Fundamental de los Polígonos Regulares
En todos los polígonos regulares, el trazado de sus radios los divide en tantos triángulos como lados posean; cuyas alturas son iguales al apotema del polígono, y cuyas bases sumadas son iguales al perímetro del polígono.
En consecuencia, la superficie de un polígono regular será igual a la suma de las superficies de los triángulos que lo forman. Extendiendo la fórmula de cálculo de la superficie del triángulo, se deduce:
Superficie del Círculo
La propiedad fundamental del círculo, consiste en que existe una relación permanente entre su radio y la medida de su circunferencia, que es un valor constante de 3,1416; el cual se designa con la letra griega PI.
La propiedad fundamental del círculo, consiste en que existe una relación permanente entre su radio y la medida de su circunferencia, que es un valor constante de 3,1416; el cual se designa con la letra griega PI.
Superficie de los Polígonos Regulares
Cualquier polígono irregular, puede descomponerse en triágulos, mediante el trazado de sus diagonales; o complementando éstas con perpendiculares desde un vértice a una diagonal.
Por lo tanto, conociendo la medida de las líneas que conformen las bases y alturas de esos triángulos, será posible calcular su superficie; y sumarla para obtener la superficie total del polígono irregular.
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